درسنامه آموزشی فصل چهارم آمار و احتمال کلاس یازدهم ریاضی

خواندنی

از جمله ساده‌ترین مسائل در آمار استنباطی، برآورد کردن یک نسبت در جامعه است:

- چند درصد از مردم تصمیم دارند در تعطیلات نوروز سال آینده به مسافرت بروند؟
- چند درصد از کشاورزان در سال گذشته از آبیاری قطره‌ای در مزارع خود استفاده کردند؟
- چند درصد از درختان یک باغ آلوده به شته شده‌اند؟
- چند درصد مشتریان یک فروشگاه از برخورد کارمندان راضی هستند؟

فرض کنید برای به‌دست آوردن نسبتی از اعضای جامعه که ویژگی خاصی را دارند، نمونه‌ای n‌تایی را به تصادف از جامعه انتخاب می‌کنیم. اگر m‌تا از نمونه‌ها ویژگی مورد مطالعه را داشته باشند، آن‌گاه می‌توانیم بگوییم:

«تقریباً به نسبت $\frac{m}{n}$ از افراد جامعه آن ویژگی را دارند.»

ولی این گزاره چه معنایی می‌دهد؟
در این تقریب، مقدار خطا چقدر است؟ آمارشناسان در پاسخ به سؤال فرمول زیر را ارائه کرده‌اند:

برآورد بازه‌ای نسبت، با اطمینان 95 درصد:

اگر از جامعه‌ای نسبتاً بزرگ، n نمونهٔ تصادفی ساده انتخاب کنیم و m تا از آنها ویژگی مورد مطالعه ما را داشته باشند، آن‌گاه نسبت واقعی افرادی از جامعه (پارامتر نسبت) که آن ویژگی را دارند، با اطمینان 95 درصد، در بازهٔ زیر است: 

$\le p+2\sqrt{\frac{p\left( 1-p \right)}{n}}$ نسبت واقعی $p-2\sqrt{\frac{p\left( 1-p \right)}{n}}\le $

که در آن $p=\frac{m}{n}$ برآورد پارامتر نسبت ویژگی در جامعه است.

توجه داشته باشید که اندازهٔ بازه اطمینان وابسته به تعداد نمونه، یعنی عدد n، است، ولی ارتباطی با تعداد اعضای جامعه ندارد. اگر بخواهیم بدون تغییر تعداد نمونه با اطمینانی بیش از 95 درصد نسبت را برآورد کنیم، لازم است که به‌جای عدد 2 ضریبی بزرگ‌تر گذاشته شود.

مثال: فرض کنید از 48 دانش‌آموز مدرسه پرسیده‌ایم که «آیا برای آمدن به مدرسه از وسایل نقلیهٔ عمومی استفاده می‌کنید؟» 36 نفر به سؤال ما جواب مثبت داده‌اند. در این صورت، چند درصد از دانش‌آموزان مدرسه جوابشان به این سؤال مثبت خواهد بود؟ پاسخی با اطمینان 95 درصد مدّ نظر است.

حل: طبق فرض‌های مسئله تعداد نمونه 48 است و 36 نفر ویژگی مورد نظر را داشته‌اند. پس قرار می‌دهیم:

$n=48\,\,\,\,,\,\,\,\,m=36$

پس $p=\frac{36}{48}=0/75$، طبق فرمول اخیر باید عبارت زیر را هم محاسبه کنیم:

$\begin{align}
  & 2\sqrt{\frac{p\left( 1-p \right)}{n}}=2\sqrt{\frac{0/75\left( 1-0/75 \right)}{48}}=2\sqrt{\frac{1}{48}\times \frac{3}{4}\times \frac{1}{4}} \\ 
 & =2\times \frac{1}{16}=0/125 \\ 
\end{align}$

پس با اطمینان 95 درصد می‌توان گفت، نسبت مورد نظر بین 63 درصد و 88 درصد است. طول این بازه 25 درصد است. اگر بخواهیم به‌دقت بهتری برسیم باید تعداد داده‌ها را زیاد کنیم.

با توجه به اینکه در فرمول بازه اطمینان جمله $\sqrt{n}$ در مخرج آمده است، به حقیقت زیر می‌رسیم:

اگر در محاسبهٔ بازه اطمینان نسبت تعداد نمونه‌ها را k برابر کنیم، طول بازهٔ اطمینان تقسیم بر $\sqrt{k}$ می‌شود.

پس اگر تعداد نمونه‌ها را 4 برابر کنیم طول بازهٔ اطمینان نصف می‌شود و اگر تعداد نمونه‌ها را صد برابر کنیم، دقت محاسبه نسبت، یک رقم اعشار بهتر خواهد شد.

یک مؤسسه نظرسنجی معتبر، یک روز قبل از برگزاری انتخابات ریاست جمهوری، از یک نمونهٔ 1000 نفری از واجدان شرایط، که به‌طور تصادفی از کلّ کشور انتخاب شده‌اند، پرسیده است که «آیا در انتخابات شرکت خواهید کرد؟»

اگر جواب 700 نفر مثبت بوده باشد، یک بازهٔ اطمینان 95 درصدی برای درصد شرکت‌کنندگان در انتخابات به‌دست آورید.

حل: در این مسئله $n=1000$ و $p=\frac{.........}{.........}=........$. باید عبارت زیر را محاسبه کنیم:

$2\sqrt{\frac{p\left( 1-p \right)}{n}}=2\sqrt{\frac{.......\left( 1-....... \right)}{.......}}=0/029$

پس با اطمینان 95 درصد مشارکت در انتخابات بین ……… درصد و ……… درصد خواهد بود.

مثال: همان‌طور که می‌دانید در انتخابات ریاست جمهوری اگر نامزدی موفق به کسب بیش از نیمی از آرای رأی‌دهندگان شود، رئیس جمهور خواهد شد، ولی اگر هیچ نامزدی این میزان رأی نیاورد دو نامزدی که بیش‌ترین تعداد رأی را دارند به دور دوم خواهند رفت. در برخی سال‌ها رقابت بین نامزدها به شکلی شدید است که از پیش به‌سختی می‌توان حدس زد که نامزد پیشرو آیا در دور اوّل انتخاب خواهد شد یا خیر. در این‌صورت، نظرسنجی‌ها باید بسیار دقیق‌تر باشد. فرض کنید از پیش بدانیم که آرای یکی از نامزدها نزدیک به 50 درصد است. اگر بخواهیم طول بازهٔ اطمینان 95 درصدی، کمتر از یک درصد باشد نمونهٔ ما باید شامل چند نفر باشد؟

حل: طول بازهٔ اطمینان برابر است با:

$2\times 2\sqrt{\frac{p\left( 1-p \right)}{n}}$

و با توجه به اینکه می‌دانیم $p\cong 0/5$ پس طول بازهٔ اطمینان تقریباً برابر است با:

$2\times 2\sqrt{\frac{0/5\left( 1-0/5 \right)}{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}}$

پس اگر بخواهیم طول بازه اطمینان 95 درصدی، برابر یک درصد باشد باید n را آن‌قدر بزرگ بگیریم که $\frac{2}{\sqrt{n}}$ از 0/01 کم‌تر شود؛ یعنی $\frac{2}{\sqrt{n}}\cong 0/01$ و این یعنی $n={{200}^{2}}=40000$.

در حالت کلی، قبل از آمارگیری برآوردی از نسبت مورد مطالعه نداریم. پس اگر بخواهیم به‌دقت خاصی برسیم، چگونه باید از پیش بفهمیم که به چند نمونه احتیاج داریم؟ برای پاسخ به این سؤال به این نکته توجه کنید که عبارت $p\left( 1-p \right)$ یک چندجمله‌ای درجه دو است و بیشترین مقدار خود را در $p=0/5$ می‌گیرد؛ یعنی $p\left( 1-p \right)\le 0/5\left( 1-0/5 \right)=0/{{5}^{2}}$

لذا به این نتیجه می‌رسیم:
در برآورد بازه‌ای نسبت، بازهٔ زیر شامل بازهٔ اطمینان 95 درصدی است:

$\le p+\frac{1}{\sqrt{n}}$ پارامتر نسبت $p-\frac{1}{\sqrt{n}}\le $

که در آن $p=\frac{m}{n}$. به بیان دیگر «با اطمینان بیشتر از 95 درصد»، نسبت موردنظر در این بازه است.